കുറച്ചുനാളായി ഈ മലയാളം ഭൂലോകം ഞാൻ ചുറ്റിക്കാണുകയായിരുന്നു….
പല കഥകളും വായിച്ചു… പല കഥകളും കേട്ടു…
അടി..ഇടി..ബഹളം..ജയ് ജയ് മഹരാജ് വിളികൾ… മൊല്ലാക്കമാർ… അങ്ങനെകുറേ….
ഉമേഷ് പോസ്റ്റ് ചെയ്ത യോജന എന്ന പോസ്റ്റിൽ തുടങ്ങിയതാണ്.. അതിൽ നന്നായി പങ്കെടുക്കുവാനും കഴിഞ്ഞു…
പിന്നെയാണ് ബൂലോകത്തിന്റെ വാതിലുകൾ ഒന്നൊന്നായി തുറന്ന് നോക്കാൻ ശ്രമിച്ചത്… ഫലമോ… ബ്ലോഗുകൾ വെറും സമയം കൊല്ലികൾ എന്ന
എന്റെ ധാരണ അതോടെ മാറി… മറിച്ച് അത് അറിവിന്റെ സംങ്കേതം എന്ന ഒരു കാഴ്ച്ച്പ്പാടിലേയ്ക്ക് മാറി…
അങ്ങനെയിരിയ്കേയാണ് ഞാൻ പണിക്കർ മാഷിന്റെ അക്ഷരശാസ്ത്രം എന്ന ബ്ലോഗ് വായിക്കാനിടയായത്…
അതിൽ അദ്ദേഹം പറയുന്ന പല കാര്യങ്ങളും വളരെ രസകരമായി തോന്നി…
ആഗ്നേയശാസ്ത്രം എന്ന പോസ്റ്റിൽ വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്(circumference) , വ്യാസം(radius) , വിസ്ത്തീർണ്ണം (area) എന്നിവെയെ
പ്രതിപാതിക്കുന്ന ഒരു ഭാഗം വായിച്ച്നോക്കിയപ്പോൾ ഒരു അൽഭുതമെന്നോണം ഇതുവരെ തോന്നാത്ത ഒരു കാര്യം തോന്നി……..
ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിൽ നിന്ന് വിസ്ത്തീർണ്ണം കാൽക്കുലസ് വെച്ച് കണ്ടുപിടിയ്ക്കുന്ന രീതി….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
ചുറ്റളവ് = (circumference) , വ്യാസം = (radius) , വിസ്ത്തീർണ്ണം = (area)
ആദ്യം. ഒരു കുത്ത് ഇടുക(വ്യാസം = r = 0). അപ്പോൾ ആ കുത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് പൂജ്യം (2*π *r =0, കാരണം r = 0)
ഇനി ചെറിയ ചെറിയ വൃത്തങ്ങൾ വ്യാസം 0’ത്തിൽ നിന്നും കൂട്ടി കൂട്ടി എത്ര വ്യാസമുള്ള വൃത്തം വേണോ അത്രയും പ്രാവശ്യം വരയക്കുക.
ഇപ്പോൾ നമുക്ക ആവശ്യത്തിൽ വലിപ്പമുള്ള വൃത്തം കിട്ടി…
കാൽകുലസ് പ്രകാരം ഈ വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്ത്തീർണ്ണം എന്നത് “ഒരു കുത്തിന്റെ മുതൽ ഈ വൃത്തം വരെയുള്ള വൃത്തങ്ങളുടെ ചുറ്റളവുകളുടെ ചെറിയ വിസ്ത്തീർണങ്ങൾ “ കൂട്ടുന്ന സംഘ്യയാണ്.
അല്ലെങ്കിൽ “adding the areas of individual infinitely small circumferences of lesser radius till the radius you want will give area ” എന്നത്
ഒരു സാധാരണ സ്കൂൾ കുട്ടിയ്ക്ക് മനസ്സിലാകാൻ പാകത്തിലുള്ള കാര്യമാണ്…
ഇനി ഒന്ന് കാൽകുലസ് ഉപയോഗിച്ച് നോക്കാം….
…………………………………………………………………………………………
∫ – എന്നാൽ ഇന്റെഗ്രൽ
( ചുറ്റളവ്)* ɠ r എന്നതാണ് ഒരു ചുറ്റളവിന്റെ വിസ്ത്തീർണ്ണം
അപ്പോൾ,
∫( ചുറ്റളവ്)* ɠ r = വൃത്തത്തിന്റെ മുഴുവൻ വിസ്ത്തീർണ്ണം , ചുറ്റളവ് = 2* π *r
അപ്പോൾ,
∫ (2*π *r)*ɠ r= 2*π*(r^2)/2 = π*r^2….!
അപ്പോൾ വിസ്ത്തീർണ്ണം = π*r^2…!
കിട്ടി…! കാൽക്കുലസ് വെച്ച് വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്ത്തീർണ്ണം കിട്ടി……….!!!!!
———————————————————————————————————————————————————
വാൽക്കഷ്ണം : ∫ (r)*ɠ r = ( r^2 ) /2
π
നദി അങ്ങിനെയാ..എപ്പോഴും ഒഴുകികൊണ്ടിരിയ്ക്കും... 
ഈ വാദം ശരിയല്ല ശേഷൂ. ചുറ്റളവു് നീളമാണു് (one-dimensional). വിസ്തീർണ്ണം two-dimensional-ഉം. ചുറ്റളവു കൂട്ടിയാൽ വിസ്തീർണ്ണമാവില്ല. ഏതെങ്കിലും നീളം കൊണ്ടു ഗുണിക്കണം.
ആര്യഭടനെപ്പോലുള്ളവരും അതിനു മുമ്പു് യൂക്ലിഡ് തുടങ്ങിയവരും ഈ ബന്ധം കണ്ടുപിടിച്ചതു് ഇങ്ങനെയാണു്.
വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽനിന്നു് വൃത്തത്തിലേക്കു് തുല്യ-അകലത്തിൽ ആരങ്ങൾ വരയ്ക്കുക. അവ വൃത്തവിസ്താരത്തെ പല തുല്യഭാഗങ്ങളാക്കി തിരിക്കുന്നു. അതിലെ ഓരോ ഭാഗത്തെയും സെക്ടർ എന്നു വിളിക്കുന്നു.
ഇനി ഈ സെക്ടർ എല്ലാം പെറുക്കിയെടുത്തു നിരത്തിവെയ്ക്കുക. നിരത്തുമ്പോൾ ഒന്നിടവിട്ട സെക്ടറുകൾ തലതിരിച്ചു വെയ്ക്കുക. ഇപ്പോൾ ഏകദേശം ഒരു ദീർഘചതുരം കിട്ടും. ആരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അകലം വളരെ കുറവാണെങ്കിൽ, അഥവാ സെക്ടറുകളുടെ എണ്ണം വളരെ വലുതാണെങ്കിൽ ഇതു് മിക്കവാറും ഒരു ദീർഘചതുരം തന്നെയാവും. വൃത്തചാപം ഒരു സമരേഖയായി കണക്കാക്കിയാൽ കാര്യമായ വ്യത്യാസം ഉണ്ടാവില്ല എന്നർത്ഥം.
ഈ ദീർഘചതുരത്തിന്റെ ചെറിയ വശം വ്യാസാർദ്ധം തന്നെയാണു്. വലിയ വശം ചുറ്റളവിന്റെ പകുതിയും. അപ്പോൾ വിസ്തീർണ്ണം ചുറ്റളവു് വ്യാസാർദ്ധം / 2.
ഇതു ചെയ്യാൻ കാൽക്കുലസിന്റെ ആവശ്യമില്ല. എന്നാൽ തീരെച്ചെറിയ കഷണങ്ങൾഅഅക്കി മുറിച്ചു് അപ്രോക്സിമേറ്റു ചെയ്യുന്നതു് കാൽക്കുലസിന്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ ആദ്യകിരണങ്ങളാണു താനും.
(ഏപ്രിൽ ഒന്നിനു തന്നെ ബ്ലോഗു തുടങ്ങി അല്ലേ? നന്നായി 🙂 )
Comment by Umesh:ഉമേഷ് — April 1, 2010 @ 8:10 pm
സുഹൃത്തേ താങ്കള്‍ക്ക്‌ ഒരു ബ്ലോഗു തുടങ്ങാന്‍ എന്റെ ബ്ലോഗ് ഒരു പ്രചോദനമായി എന്നറിഞ്ഞതില്‍ വളരെ വളരെ സന്തോഷം.
എനിക്കു കണക്കു കാര്യമായൊന്നും അറിയുകയില്ല.
താങ്കള്‍ ഇവിടെ എഴുതിയ ഉദാഹരണം വായിച്ചപ്പോല്‍ പണ്ട്‌ എന്റെ ജ്യേഷ്ഠന്‍ എനികൊരു സംശയനിവൃത്തി വരുത്തിയതാണ്‌ ഓര്‍മ്മ വരുന്നത്‌.
സ്കൂളില്‍ പഠിക്കുമ്പോള്‍ തണുപ്പുരാജ്യങ്ങളില്‍ വെള്ളം കൊണ്ടുപോകുന്ന പൈപ്പുകള്‍ ഉണ്ടാക്കുന്നത്‌ കൃത്യം വട്ടത്തിലല്ല ഓവല്‍ ആകൃതിയുീലാണെന്നും അതിനു കാരണം ജലം കട്ടിയാകുമ്പോള്‍ വരുന്ന വലിപ്പക്കൂടുതലിനെ ഉള്‍ക്കൊള്ളന്‍ പറ്റുന്ന ഊള്‍ഭാഗം കിട്ടുവാന്‍ വേണ്ടിയാണെന്നും പഠിച്ചു.
പക്ഷെ എനിക്കതത്ര അന്നു വിശ്വാസം വന്നില്ല.
വീട്ടില്‍ വന്ന് ജ്യേഷ്ഠനോടു ചോദിച്ചപ്പോള്‍ ഇതീ രീതിയിലാണ്‌ അദ്ദേഹം എനിക്കന്നതു പറഞ്ഞു തന്നതും.
അദ്ദേഹം പറഞ്ഞു നീ ആ പൈപ്പ്‌ അങ്ങു തല്ലിപ്പരത്ത്‌ – കാറ്റു പോയ സൈക്കിള്‍ റ്റ്യൂബ്‌ പോലെ, എന്നിട്ടതില്‍ കൂടി വെള്ളം ഒഴിക്കാന്‍ നോക്ക്‌. ഇനി ക്രമേണ അതിനകത്തു ഒരു കമ്പു കയറ്റി വലുതാക്കി നോക്ക്‌ എന്നിട്ടതില്‍ കൂടി വെള്ളം ഒഴിക്ക്‌.
ഇപ്പൊ മനസ്സിലായോ കൃത്യം വൃത്തമാകുമ്പോഴായിരിക്കും അതിനകത്ത്‌ ഏറ്റവുംകൂടുതല്‍ വെള്ളം കൊള്ളുക എന്ന്‌
ഇത്ര കാലം കഴിഞ്ഞിട്ടും അതു മറക്കാന്‍ കഴിയുന്നില്ല
Comment by പണിക്കർ — April 2, 2010 @ 12:18 am
If you want to use Calculus, consider the circular disk with radius x and width dx, dx being very small.
Area of the disk = perimenter x width = 2πx dx.
Now, the area of the circle is the sum of areas of all such disks, so A = ∫ 2πx dx, with x ranging from 0 to r
So, A = 2π ∫ x dx from 0 to r = 2π (x^2/2) from 0 to r = πr^2.
Comment by Umesh:ഉമേഷ് — April 2, 2010 @ 1:16 am
The delight of watching you step into malayalam blog-dom is inexplicable….that too on a fine April-fool’s day ! All the best Sheshu 😉
Comment by suraj rajan — April 2, 2010 @ 3:14 am
ഹായ് ഉമേഷ്ജി…
മറുപടികൾ ഇവിടെ പോസ്റ്റ് ചെയ്തതിന് നന്ദി…
താങ്കൾ പറഞ്ഞത് ശരിയാണ്…
കാൽകുലസ്സിന്റെ ടെഫനിഷൻ പ്രകാരം വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിനെ ഒരു ചെറിയ വ്യാസം കൊണ്ട് ഗുണിയക്കണം…
എന്നാലേ വിസ്ത്തീർണ്ണം കിട്ടൂ…
ഈ വാദം കൂടെ ഞാൻ അവിടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു… താങ്കൾക്ക് ഒരിക്കൽക്കൂടി നന്ദി പറഞ്ഞുകൊള്ളുന്നു…
Comment by ഒഴുകുന്ന നദി... — April 2, 2010 @ 6:20 am
Umesh,just a note:
The area of a circle can be considered as the integral of all tiny rings with width Δr (approximated to dr) and perimeter 2pi*r for every tiny increment in r upto R.
i.e. A is the Riemann’s approximated sum of areas of all such tiny rings.
Instead of assuming each ‘loop’ as a zero-width circle, if we consider them as near-zero width rings, Seshu’s method can be justified as an addition process. This is a well-accepted alternate method to the Archemedian sector-wise area summation.
If required, I shall elaborate further later.
-v
Comment by V — April 15, 2010 @ 1:25 am
Thank you very much for the comment.
It was really informative.
The idea is already understood, thanks a lot.
Comment by ഒഴുകുന്ന നദി... — April 15, 2010 @ 11:54 am
അക്ഷരശാസ്ത്രത്തെ പരിചയപ്പെടുത്തിയത് നന്നായി. ഞാന്‍ നേരത്തെ ഉമേഷ് സാറിന്‍റെ യോജനയില്‍ ഒഴുകുന്ന നദിയുടെ കമന്റുകള്‍ കണ്ടിരുന്നു. മാത്സ് ബ്ലോഗില്‍ ചര്‍ച്ചയ്ക്കെത്തിയതോടെയാണ് ഇങ്ങോട്ടേക്കെത്തിയത്. തുടര്‍ചര്‍ച്ചകള്‍ ഉണ്ടാകുമല്ലോ.
Comment by Hari (Maths Blog) — July 2, 2010 @ 3:44 pm
സർ…
അറിവിന്റെ കാര്യത്തിൽ ഞാൻ ആരുമല്ല… ഞാൻ വെറും ഒരു വിദ്യാർഥിയാണ്..
എന്നാലും എന്നാൽ കഴിയുന്നതെല്ലാം ഞാൻ ചെയ്യാം…
ഈ ബ്ലോഗ് സന്ദർശ്ശിച്ചതിനു് വളരെ അധികം നന്ദി പറഞ്ഞുകൊള്ളുന്നു..
മാത്സ് ബ്ലോഗ് വളരെ അധികം നല്ല ഒരു ബ്ലോഗ് ആണ്… ഇതിനു പിന്നിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന എല്ലാവർക്കും നന്ദി പറഞ്ഞുകൊള്ളുന്നു…
ഇവിടെ വന്നതിന് സാറിന് പ്രത്യേകം നന്ദി…
മാത്സ് ബ്ലോഗ് വളരെ അധികം കുട്ടികൾക്കും അദ്ദ്യാപകർക്കും ഉപകാരപ്രദമാകട്ടെയെന്ന് ആശംസിച്ചുകൊള്ളുന്നു…
Comment by ഒഴുകുന്ന നദി... — July 2, 2010 @ 6:31 pm